一、题目

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票)。
注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 3 天(股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。

注意:你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

二、解决方案

方案一:暴力法

该方法计算出与所有可能的交易组合相对应的利润,并找出它们中的最大利润。
代码如下:

int calculate(int* prices, int pricesSize, int s)
{
    if (s >= pricesSize)
    {
        return 0;
    }
    int max = 0;
    for (int start = s; start < pricesSize; start++)
    {
        int maxprofit = 0;
        for (int i = start + 1; i < pricesSize; i++)
        {
            if (prices[start] < prices[i])
            {
                int profit = calculate(prices, pricesSize, i + 1) + prices[i] - prices[start];
                if (profit > maxprofit)
                {
                    maxprofit = profit;
                }
            }
        }
        if (maxprofit > max)
        {
            max = maxprofit;
        }
    }
    return max;
}

int maxProfit(int* prices, int pricesSize)
{
    return calculate(prices, pricesSize, 0);
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(nn)O(n^n)。调用递归函数 nnn^n次。
  • 空间复杂度:O(n)O(n)。递归的深度为 n。

方案二:峰谷法

假设给定的数组为:[7, 1, 5, 3, 6, 4]。如果我们在图表上绘制给定数组中的数字,我们将会得到:

观察上图可知,要想获利,我们必须在谷底购买股票,并在峰顶及时卖出,用数学语言描述就是:

TotalProfit=i(height(peaki)height(valleyi))TotalProfit= \sum_{i}(height(peak_{i})−height(valley_{i}))

这里的关键是我们必须考虑到紧跟谷底的每一个峰顶值以最大化利润。如果我们试图跳过其中一个峰值来获取更多利润,那么我们最终将失去其中一笔交易所得利润,从而导致总利润的降低。
例如,在上述情况下,如果我们跳过 peakipeak_{i}valleyjvalley_{j}, 试图通过考虑差异较大的点以获取更多的利润,获得的净利润总是会小与包含它们而获得的静利润,因为C总是小于A+B。
代码如下:

int maxProfit(int* prices, int pricesSize)
{
    int i = 0;
    int valley = prices[0];
    int peak = prices[0];
    int maxProfit = 0;
    while (i < pricesSize - 1)
    {
        while (i < pricesSize - 1 && prices[i] >= prices[i + 1])
        {
            i++;
        }
        valley = prices[i];
        while (i < pricesSize - 1 && prices[i] <= prices[i + 1])
        {
            i++;
        }
        peak = prices[i];
        maxProfit += peak - valley;
    }
    return maxProfit;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(n)O(n)。遍历一次。
  • 空间复杂度:O(n)O(n)。需要常量的空间。

方案三:简单的一次遍历

该方案遵循方法二的逻辑,但有一些轻微的变化。在这种情况下,我们可以简单地继续在斜坡上爬升并持续增加从连续交易中获得的利润,而不是在谷底之后寻找每个峰值。最后,我们将有效地使用峰值与谷值,但我们不需要跟踪峰值和谷值对应的成本以及最大利润,但我们可以直接继续增加数组的连续数字之间的差值,如果第二个数字大于第一个数字,我们获得的总和将是最大利润。这种方法将简化解决方案。
下面这个例子可以更清楚地展现上述情况:
给定数组:[1, 7, 2, 3, 6, 7, 6, 7]
与此数组对应的图形是:

从上图中,我们可以观察到 A + B + C 的和等于差值 D 所对应的连续峰和谷的高度之差。
代码如下:

int maxProfit(int* prices, int pricesSize)
{
    int maxProfit = 0;
    for (int i = 1; i < pricesSize; i++)
    {
        if (prices[i] > prices[i - 1])
            maxProfit += prices[i] - prices[i - 1];
    }
    return maxProfit;
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:O(n)O(n),遍历一次。
  • 空间复杂度:O(n)O(n),需要常量空间。